2025-2026学年吉林长春高二(上)期末试卷数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、已知、、、，从这四个数中任取一个数使函数有极值点的概率为（）
A. B. C. D. 1
2、函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
3、已知集合，，求（）
A．
B．
C．
D．
4、已知，为非零向量．则是，共线的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5、已知双曲线过点，过左焦点的直线与双曲线的左支交于两点，右焦点为，若，且，则的面积为（）
A. 16 B. C. D.
6、在中，，当时，的最小值为.若，，其中，则的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
7、若复数满足 (为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
8、执行如图所示的程序框图，则输出的　　
A. 74
B. 83
C. 177
D. 166
9、已知向量，满足，，，则与的夹角为
A．
B．
C．
D．
10、函数的零点的个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.3
11、中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算.算筹的摆放有纵式､横式两种(如图所示).当表示一个多位数时，个位､百位､万位数用纵式表示，十位､千位､十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（）
A．
B．
C．
D．
12、已知向量，，若，则（）
A．
B．
C．
D．
13、数列中， “”是“为等比数列”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
14、各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9=36，则前12项和S12的最小值为（）
A.78 B.48 C.60 D.72
15、“”是“”的.
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
16、若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）
A.1 B.5 C.10 D.20
17、函数在处的切线的倾斜角为（）
A．
B．
C．
D．
18、已知圆：上任意一点，设点到直线：的距离为，当取最大值时，直线的方程为（）
A. B.
C. D.
19、一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在上的频率为0.8，则估计样本在内的数据个数为
A．14
B．15
C．16
D．17
20、已知是双曲线的虚轴长与实轴长的等比中项，则C的渐近线方程为（）
A. B. C. D.

二、填空题（共6题，共 30分）

21、已知为抛物线：的焦点，过直线上任一点向抛物线引切线，切点分别为A，，若点在直线上的射影为，则的取值范围为______．
22、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为___________.
23、已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为__________．
24、已知数列的前项和为，且，，则_______．
25、若集合是的子集，则a的取值范围是______．
26、设，使不等式成立的的取值范围为___________.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是等边三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为．
(1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面PEF∥平面SCD；
(2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
28、研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化．某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（℃）
4
7
8
9
14
12
新增就诊人数y（位）
6
参考数据：，．
(1)已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有4位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，求抽取的3人中至少有一位男生的概率.
(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数（结果保留整数）．
参考公式：，．
29、已知．
(1)求证：对于，恒成立；
(2)若对于，有恒成立，求实数a的取值范围．
30、已知正项等比数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式及．
（2）设，记为数列的前项和，若，求．
31、如图,是单位圆上的动点,是圆与轴正半轴的交点,设.
(1)当点的坐标为时,求的值.
(2)若,且当点在圆上沿逆时针方向移动时,总有,试求的取值范围.
32、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若过点倾斜角为的直线与交于、两点，记线段的中点为，求.