2025年湖南衡阳高考一模试卷数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．
B．
C．
D．
2、已知直线与圆交于两点，则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
3、已知集合，则等于（）
A.1 B.3 C.-1 D.-3
4、在中，若，则的形状是（）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定
5、集合,则
A. B.
C. D.
6、已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，，交于点，点的坐标为，则的值为（）
A．
B．2
C．
D．3
7、设集合，，则（）
A．0
B．
C．
D．
8、设，则（）
A． B． C． D．
9、已知向量与向量的夹角为，且，又向量（且，），则的最大值为
A．
B．
C．
D．3
10、如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A. B. C. D.
11、已知等差数列的前项和为，若，且，则（）
A.15 B.22 C.25 D.27
12、已知平面向量与之间的夹角为，，，则与之间夹角的大小为（）
A．
B．
C．
D．
13、设点，，点在双曲线上，则使的面积为3的点的个数为
A．4
B．3
C．2
D．1
14、当时，下列不等式恒成立的是（）
A．
B．
C．
D．
15、执行如图所示的程序框图，若输入的值满足，则输出的值的取值范围是（）
A. B. C. D.
16、函数的定义域是（）
A. B. C. D.
17、下表是年我国就业人口及劳动年龄人口（劳动年龄人口包含就业人口）统计表：
时间（年）
就业人口（万人）
劳动年龄人口（万人）
则由表可知（）
A．年我国就业人口逐年减少
B．年我国劳动年龄人口逐年增加
C．年这年我国就业人口数量的中位数为
D．年我国劳动年龄人口中就业人口所占比重逐年增加
18、已知，有以下命题：①为的一个周期：②的图象关于直线对称；③在上单调；则正确命题的个数是（）
A.3 B.2
C.1 D.0
19、已知向量，满足，，，则（）
A．
B．
C．
D．
20、某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（）
A．40
B．50
C．80
D．100

二、填空题（共6题，共 30分）

21、已知随机变量服从正态分布，若，则_________.
22、若椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，则m= __________.
23、函数的定义域是______．
24、若函数满足：①是偶函数；②的图象关于点对称；③在上有两个零点.则同时满足①②③的值是__________.
25、已知函数，则________．
26、如图,在长方体中,点分别是棱,上的动点,,直线与平面所成的角为,则△的面积的最小值是________.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、如图，在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形．
（）求证：平面．
（）若，，求点到平面的距离．
28、已知函数（a为实数）.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数a的值；
（2）若，求函数在区间上的值域；
（3）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围．
29、新冠肺炎疫情的出现，对住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业的发展造成严重影响.随着复工复产的有序推动，某市一家餐厅推出线上套餐促销活动.
套餐（在下列食品中6选3）：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司四种西式面点；豆包、桂花糕两种中式面点.
套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合.
复工复产后该家餐厅某周两种套餐的日销售量（单位：份）如下表：

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
套餐
11
12
14
18
22
19
23
套餐
6
13
15
15
37
20
41
（1）根据表中所给数据，评价两种套餐的销售情况（不需要计算，只给出结论即可）；
（2）如果该餐厅每种套餐每日销量少于20份表示业绩“一般”，销量大于等于20份表示业绩“优秀”，求该餐厅在这一周内套餐连续两天中至少有一天业绩为“优秀”的概率；
（3）某顾客购买一份套餐，求该顾客所选的面点中含中式面点的个数的分布列、数学期望及方差.
30、已知数列是公差大于零的等差数列，其前项和为，且，，成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求满足的最大的的值.
31、已知函数
(I)当时，求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.
32、已知双曲线(a＞0，b＞0)交x轴于A，B两点，实轴长为2，且双曲线的离心率为2．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线(km≠0)与双曲线交于D，E两点，Q为双曲线虚轴在y轴正半轴的端点，若，求实数m的取值范围．