湖南省湘潭市2025年小升初模拟（一）数学试卷（含解析）

1、若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的取值范围是

A．

B．

C．

D．

2、已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

3、设l是直线，是两个不同的平面（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

4、直线与圆在第二象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

5、已知实数，是与的等比中项，则的最小值是（   ）

A．  B． C．8   D．4 

6、一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是（   ）

A．这组新数据的平均数为

B．这组新数据的平均数为

C．这组新数据的方差为

D．这组新数据的方差为

7、记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（       ）

A．

B．

C．

D．

8、若，则（       ）

A．22

B．19

C．－20

D．－19

9、如图所示，分别是的边上的点，，且，那么与四边形的面积比是（ ）

A．     B．  

C．   D．

10、已知，则的值为（     ）

A．

B．

C．

D．

11、已知实数，满足，若直线经过该可行域，则实数的最大值是（   ）

A.1 B. C.2 D.3

12、以下几个命题中：

①线性回归直线方程恒过样本中心；

②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；

③随机误差是引起预报值和真实值之间存在误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差；

④在含有一个解释变量的线性模型中，相关指数等于相关系数的平方.

其中真命题的个数为（   ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

13、赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽.“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）的概率是（ ）

A．

B．

C．

D．

14、如图，平面四边形中，与交于点，若，，则

A.   B.   C.   D.

15、已知过点向圆引一条切线，切点为N，且，O为坐标原点，则的最小值为（ ）

A．

B．

C．

D．1

16、已知在等差数列中，，前7项的和等于28，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和.设为数列的前项和，则下列正确的是（       ）

A．

B．是等比数列，通项

C．

D．

17、我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )

A. 600 B. 400 C. 300 D. 200

18、若集合，，则（   ）

A. B. C. D.

19、,数列的前项和为,数列的通项公式为,则的最小值为（ ）

A． B．   C． D．

20、已知，函数，当x＞1时，恒成立，则实数的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．1

21、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3n2＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝____．

22、变量，之间的几组数据如下表所示：

若根据表中数据得出关于的线性回归方程为，则表中的值为___________.

23、双曲线的焦距为___________.

24、已知是关于的方程的根，则___________.

25、随机变量，满足：

（1），；

（2），

则________.

附：；；.

26、半径为2米，中心角为120°的扇形的面积为________米2.

27、已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．

(1)若恰是椭圆的焦点，求的值；

(2)若，且恰好被平分，求的面积．

28、过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为-4．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点的坐标为，若过和两点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线与

轴交于一定点．

29、如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点．

(1)求证：；

(2)若，求三棱锥的体积．

30、有治疗某种疾病的两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查：两种药物各有100位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天数）及人数记录如下：

服用药物：

服用药物：

假设所有病人的康复时间相互独立，所有病人服用药物后均康复.

（1）若康复时间低于15天（不含15天），记该种药物对某病人为“速效药物”.当时，请完成下列列联表，并判断是否有99%的把握认为病人服用药物比服用药物更速效？

（2）分别从服用药物康复时间不同的人中，每种康复时间中各取一人，记服用药物的7人为Ⅰ组，服用药物的7人为Ⅱ组.现从Ⅰ、Ⅱ两组中随机各选一人，分别记为甲、乙.

①为何值时，Ⅰ、Ⅱ两组人康复时间的方差相等（不用说明理由）；

②在①成立且的条件下，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率.

参考数据：

参考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d.

31、在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.

已知数列的前n项和为，且满足___________.

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，试比较与的大小关系，并说明理由.

32、已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.