台北2024-2025学年第二学期期末教学质量检测试题(卷)高一数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（　　）
A．
B．
C．
D．
2、定义域和值域均为(常数)的函数和的图象如图所示，则方程解的个数为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
3、已知集合，，则的真子集个数为（）
A. B. C. D.
4、已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且位于第一象限，为坐标原点，若线段的中点满足，则直线的方程为（）
A. B. C. D.
5、一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）
A. B. C. D.
6、过抛物线的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
7、某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）
A. B. C. D.
8、已知是的外心，，则，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
9、已知全集，集合，那么集合等于
A. B. C. D.
10、说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（）
A．
B．
C．
D．
11、在平行四边形中，对角线与交于点为中点，与交于点，若，则（）
A．
B．
C．
D．
12、设实数t＞0，若不等式对x＞0恒成立，则t的取值范围为（）
A．[，)
B．[，)
C．(0，]
D．(0，]
13、设集合，则（）
A. B. C. D.
14、在三棱柱中，已知，平面，则下列选项中，能使异面直线与相互垂直的条件为（）
A. B.
C.四边形为正方形 D.四边形为正方形
15、已知中，为上一点，，将沿翻折成，若与所成的角为，则可能为（）
A. B. C. D.
16、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
17、已知函数，若的图象与的图象重合，记的最大值为，函数的单调递增区间为（）
A. B.
C. D.
18、已知是平面内两个不同的定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为，若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
19、函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
20、已知复数满足（是虚数单位），则（）
A．
B．
C．
D．

二、填空题（共6题，共 30分）

21、若、满足约束条件，则的最小值为________.
22、函数在点处的切线方程为___________.
23、在平面直角坐标系中，直线与圆交于点，为弦的中点，则点的横坐标的取值范围是__________．
24、圆心在直线上，通过原点，且在轴上截得弦长为2的圆的方程为____
25、设，满足约束条件，已知当，时，取得最大值，则的取值范围是______.
26、已知是第二象限角，且，，则____.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、身高体重指数(BMI)的大小直接关系到人的健康状况，某高中高三(1)班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5名学生，测量其身高、体重的数据如下表.
学生编号
1
2
3
4
5
身高x/cm
l65
170
175
170
170
体重y/kg
58
67
67
65
63
(1)求体重关于身高的线性回归方程，并预测身高为180cm的同学的体重；
(2)试分析学生的体重差异约有多少是由身高引起的？(注:结果保留两位小数)参考公式:线性回归方程中，，，其中，为样本平均值，.
28、已知函数
（1）讨论函数在其定义域内的单调性；
（2）若对任意的恒成立，设，证明：在上存在唯一的极大值点，且
29、如图，四棱锥的底面ABCD是等腰梯形，，，，是等边三角形，平面平面ABCD，点M在棱PC上．
(1)当M为棱PC中点时，求证：；
(2)若点M满足：，求锐二面角的余弦值．
30、“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
回归模型
模型①
模型②
回归方程
（附：刻画回归效果的相关指数，.）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
（附：随机变量服从正态分布，则，.）
31、如图，几何体中，平面平面ABC，，，.
(1)证明：；
(2)若，，求直线DA与平面EAB所成角的正弦值.
32、在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程；
（2）曲线上是否存在不同的两点，（以上两点坐标均为极坐标，，），使点、到的距离都为3？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.